Критерий Вилкоксона (Уилкоксона): две зависимые выборки

Итак, у вас есть данные обследования, полученные в двух опытах (или в двух замерах), но на одной и той же группе испытуемых (подопытных, объектов и т.д.).

Понятие "зависимые выборки"

Зависимые выборки - это два замера одного и того же параметра, сделанные на одной и той же совокупности объектов либо в разное время, либо при разных условиях. В итоге получаются две группы данных, попарно связанные между собой через одни и те же объекты. © Сазонов В.Ф., 2016. © kineziolog.su, 2016.

Две выборки считаются зависимыми друг от друга, если каждому значению одной выборки можно  однозначно поставить в соответствие ровно одно значение другой выборки. Аналогично определяется зависимость друг от друга нескольких выборок.

Или такое определение:

Зависимые (связанные, попарно сопряженные) выборки -  это выборки, представляющие собой параметры одной и той же совокупности до и после воздействия некоторого фактора.

Чаще всего зависимые выборки – это измерения одной и той же группы объектов в разные моменты времени (например, до и после воздействия какого-либо фактора). Таким образом, зависимые выборки всегда  должны содержать одинаковое количество наблюдений. В электронной таблице зависимые переменные располагаются в разных столбцах одной таблицы под разными названиями (например, показатели чего-то до воздействия и показатели чего-то после воздействия).

И вам надо из этих двух столбиков данных получить какие-то обобщённые результаты, сделать выводы. И самое главное - вам надо сравнить между собой две эти выборки.

Например:

ФИО	Замер 1	Замер 2
Ив.	5,05	7,20
Петр.	6,48	7,43
Сид.	5,16	5,58
Ник.	7,30	7,46
Серг.	4,70	7,05
Павл.	7,25	12,95
Сем.	5,85	5,55
Фр.	6,62	9,85
Григ.	5,15	7,50
Пуш.	4,83	6,38
Саз.	6,20	14,35

Как видим, люди-то одни и те же, но с каждого из них снимали показатели дважды. И нам не важно, какие именно это показатели: секунды, килограммы или сантиметры...

Наводящие вопросы:

1. Вы собираетесь проверять, что в этих выборках соблюдается закон нормального распределения?

- Да. Мне не лень возиться с этим, и я обязательно проверю, соблюдается ли в этих выборках закон нормального распределения.

ОК, тогда после проверки вы сможете сделать обоснованный вывод о том, можно ли применять для сравнения ваших выборок параметрическием методы статистической обработки. Или же вам всё равно придётся вернуться сюда, на эту же страничку, к методу Вилкоксона...

- Нет, мне лень возиться с проверками на нормальность распределения, и я хочу сравнить свои две зависимые выборки прямо сейчас.

Тогда за дело! Нам нужен Т-критерий Вилкоксона

Т-критерий Вилкоксона

Тест Уилкоксона (Вилкоксона), он же: знаковый ранговый критерий Уилкоксона, критерий знаковых рангов Уилкоксона, одновыборочный критерий Вилкоксона, Wilcoxon signed-ranks test for matched pairs.

Т-критерий Вилкоксона применяется для сопоставления показателей, измерен­ных в двух разных условиях на одной и той же выборке (группе) испытуемых. Рекомендуется для выборок умеренной численности (численность каждой выборки от 12 до 40).

Он позволяет установить не только направленность изменений, но и их выраженность. С его помощью мы определяем, является ли сдвиг показателей в каком-то одном направлении более интенсивным, чем в другом.

  АЛГОРИТМ 9 (Сидоренко Е.В., 2001)
Подсчет критерия Т Вилкоксона
1. Составить список испытуемых в любом порядке, например, алфавитном.
2. Вычислить разность между индивидуальными значениями во втором и первом замерах (в каждой паре чисел от значения "после" отнять значение "до"). Определить, что будет считать­ся "типичным" сдвигом (т.е. наиболее частым) и сформулировать соответствующие гипоте­зы.

Получится такая табличка:

№ п\п	ФИО	Замер №1	Замер №2	№2 - №1
1	Ив.	5,05	7,2	2,15
2	Петр.	6,48	7,43	0,95
3	Сид.	5,16	5,58	0,42
4	Ник.	7,3	7,46	0,16
5	Серг.	4,7	7,05	2,35
6	Павл.	7,25	12,95	5,7
7	Сем.	5,85	5,55	-0,3
8	Фр.	6,62	9,85	3,23
9	Григ.	5,15	7,5	2,35
10	Пуш.	4,83	6,38	1,55
11	Саз.	6,2	14,35	8,15

Как видим, большинство сдвигов - выше нуля, т.е. имеют положительные знаки. Их и будем считать типичными, потому что их больше. Итак, типичные сдвиги - положительные.
3. Перевести разности в абсолютные величины и записать их отдель­ным столбцом (иначе трудно отвлечься от знака разности).
4. Проранжировать абсолютные величины разностей, начисляя мень­шему значению меньший ранг. Проверить совпадение полученной суммы рангов с расчетной.
5. Отметить кружками, звёздочками или другими знаками ранги, соответствующие сдвигам в "нетипичном" направлении. В нашем примере это ранги для отрицательных сдвигов.
6. Подсчитать сумму этих рангов по формуле:
T=∑Rr
где Rr - ранговые значения сдвигов с более редким знаком.
7. Определить критические значения Т для данного n по Табл. VI Приложения 1. Если Тэмп (т.е. полученный в нашем опыте) меньше или равен Ткр, (т.е. табличному) то это означает, что сдвиг в "типичную" сторону по интенсивности достоверно преобладает. Кроме того в нашем примере видно, что положительные "типичные" сдвиги говорят о том, что показатели в замере №2 выше, чем в замере №1.

Выводы:

1. Между замером №1 и замером №2 обнаружены достоверные различия по критерию Вилкоксона.
2. По критерию Вилкоксона показатели в замере №2 достоверно выше, чем в замере №1.