Статистический критерий Фридмана

 Сравнение нескольких зависимых выборок: Критерий Фридмана (Friedman test)

Критерий Фридмана является непараметрическим аналогом однофакторного дисперсионного анализа для повторных измерений. Данный критерий является распространением критерия Т Вил­коксона (Уилкоксона) на большее, чем 2, количество условий измерения. Разработан американским экономистом нобелевским лауреатом Милтоном Фридманом (Milton Friedman).

Он позволяет проверять гипотезы о различии более чем двух (т.е. от 3-х и до 100) повторных измерений по уровню выраженности изучаемой переменной.

Критерий более эффективен, чем дисперсионный анализ в случае малых выборок (до 30 объектов в выборке) и распределений, отличных от нормального. Он основан на ранжировании повторных измерений для каждого объекта выборки. Проверяется при помощи критерия хи-квадрат ( ).  При справедливости нулевой гипотезы значения статистики Фридмана (критерия Фридмана) малы, т.е. эмпирический критерий меньше, чем критический. И это означает, что различия случайны и недостоверны.

Критерий применяется для сопоставления показателей, измеренных в разных условиях (c>=3) на одной и той же выборке из n испытуемых. Критерий Фридмана позволяет установить, что величины показателей от условия к условию изменяются, но при этом не указывает на направление изменений и в этом смысле он похож на критерий знаков.

Критерий Фридмана является обобщением критерия Вилкоксона на большее, чем два, количество условий измерения, при этом ранжируются не абсолютные величины сдвигов, а сами индивидуальные значения измерений.

Нулевая гипотеза H₀ = {между полученными в разных условиях показателями (т.е. между проверяемыми выборками) существуют лишь случайные различия}.

Альтернативная гипотеза H₁ = {между полученными в разных условиях показателями (т.е. между проверяемыми выборками)  имеются существенные неслучайные различия}.

Ранжируются индивидуальные значения показателей (повторные измерения) для каждого экземпляра выборки в порядке убывания признака (ранжирование параметров каждой строки).

Полученные ранги суммируются по столбцам (ранги показателей, полученных по всем экземплярам выборки при одних и тех же условиям).

Эмпирическое значение критерия по формуле:

,

где – c количество условий (тестов),,– количество экземпляров выборки,,– сумма рангов всех значений при -ом условии.

Критическое значение критерия зависит от уровня значимости α и степени свободы.

Нулевая гипотеза не отвергается, если критическое значение превосходит эмпирическое. В этом случае различия значений показателя в разных условиях можно считать несущественными.

Схема применения критерия имеет вид:

Рис 2 Алгоритм применения критерия Фридмана

Источники:

http://www.studfiles.ru/preview/1582412/page:3/

Презентация