grad-green grad-gray grad-blue grad-red grad-pink grad-purple grad-yellow
Нести помощь людям

Вход на сайт

Вы здесь

Главная » Студентам » Математическая статистика

Законы распределения случайных величин

Краткое описание: 
Библиографическая ссылка для цитирования: Сазонов В.Ф. Законы распределения случайных величин [Электронный ресурс] // Кинезиолог, 2009-2021: [сайт]. Дата обновления: 28.10.2021. URL: https://kineziolog.su/content/zakony-raspredeleniya-sluchainykh-velichin (дата обращения: __.__.20__). _________________________Законы распределения случайных величин в биологических исследованиях, лежащие в основе математической обработки результатов.

Случайной величиной называется такая величина, которая случайно принимает какое-то значение из множества возможных значений.

Случайные величины обозначаются: X, Y, Z,... Значения, которые они принимают: x,y,z.

Дискретными называются случайные величины, значениями которых являются только отдельные точки числовой оси. (Число их может быть как конечно, так и бесконечно). Пример: Число родившихся девочек среди ста новорожденных за последний месяц- это дискретная случайная величина, которая может принимать значения 1,2,3,…

Непрерывными называются случайные величины, которые могут принимать все значения из некоторого числового промежутка. Пример: Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле- это непрерывная случайная величина, значения которой принадлежат некоторому промежутку [а; в].

Закон распределения дискретной случайной величины- это соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. Закон распределения можно задать таблично, аналитически, графически.

Функцией распределения случайной величины называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение меньшее х, т.е. F(x)<P(X<x).

Геометрически это равенство можно истолковать так: F(x) –есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Иногда вместо термина «функция распределения» используется термин «интегральная функция».

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности (дифференциальной функцией).

 Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x)- первую производную от функции распределения F(x).

 

Основные законы распределения

Биометрия (=биологическая статистика) изучает случайные события и поведение случайных величин. Вообще-то биологически явления не случайны, они закономерно вытекают из определённых причин. Но мы не может узнать и проанализировать все эти причины во всей их совокупности, поэтому конкретные биологические явления и события выглядят для нас случайными. Так мы и будем к ним относиться.

Начиная биологический эксперимент или приступая к наблюдению, невозможно точно сказать, каков будет его результат. Это, например, уровень численности животных в данном районе, вес тела ещё не отловленных особей, количество сахара в крови через час после введения препарата и т. п. В этом смысле биологические явления случайны, точно не предсказуемы. Однако любому биологу ясно, что случайность эта не абсолютна. Несмотря на сложность точного прогноза, приблизительный результат можно предугадать, в частности, предсказав, что интересующая нас величина будет находиться в пределах некоторого интервала между конкретными минимальными и максимальными значениями. Так, например, вполне предсказуемо, что рост человека, выбранного наугад из группы обычных людей, вряд ли превысит два метра или будет ниже полутора метров. Вариационная статистика может дать и более точный прогноз, ориентируясь на известные ей законы поведения случайных величин, относящихся к разным типам распределений. При этом под распределением признаков (случайных величин, объектов) понимается соотношение между их значениями и частотой встречаемости.

Распределением признаков (случайных величин, объектов) - это соотношение между их значениями и частотой их встречаемости.

В биологических исследованиях чаще всего могут встретиться шесть вариантов распределения:

  1. Нормальное.
  2. Биномиальное.
  3. Распределение Пуассона.
  4. Альтернативное.
  5. Полиномиальное.
  6. Равномерное.

Нормальное распределение

Это наиболее характерный тип распределения непрерывных случайных величин, из него можно вывести (к нему сводятся) все остальные. Распределение симметрично, причем крайние значения (наибольшие и наименьшие) появляются редко, но чем ближе значения признака к центру (к средней арифметической), тем оно чаще встречается.

Нормальное распределение занимает особую роль в теории вероятностей. Это наиболее общее непрерывное распределение вероятностей, часто использующееся для представления случайных величин, закон распределения которых не известен.

В своё время Лаплас нашел закон распределения, являющийся предельным законом при неограниченном возрастании числа испытаний n и называемый законом нормального распределения.

Плотность вероятности нормального распределения выражается при этом формулой:
Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения
где t представляет собой нормированное отклонение частоты т от наиболее вероятной частоты nр, т. е. Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения — среднее квадратическое отклонение случайной переменной m. Графическое изображение плотности распределения f(t) дает кривую нормального распределения

Максимальная ордината кривой соответствует точке m=nр, т. е. математическому ожиданию случайной переменной m; величина этой ординаты равна Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения.

Для практического нахождения вероятностей используют таблицу значений f(t).

Плотность нормального распределения выражается функцией Гаусса:
f(x) = \tfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\; e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} }

где μ — математическое ожидание,
σ — среднеквадратическое отклонение,
σ ² — дисперсия,
медиана и мода нормального распределения равны математическому ожиданию μ.

Функция распределения

Функция распределения для нормального распределения задается формулой:
\frac12\left[1 + \operatorname{erf}\left( \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right]
где, erf(x) — функция ошибок (Лапласа) или интеграл вероятности, определяемый как:
\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int\limits_0^x e^{-t^2}\,\mathrm dt

 

Биологический смысл нормального распределения

Чем дальше отклоняется значение признака от среднего значения — тем реже оно встречается в выборке, и чем ближе значение признака к среднему значению — тем чаще оно стречается в выборке.

Среднее квадратичное отклонение примерно 4 раза укладывается в размахе изменчивости признака и по величине значительно уступает средней. Геометрически стандартное отклонение равно расстоянию от центра кривой распределения до точки перегиба кривой.

Нормальное распределение

 Нормальное распределение играет исключительно важную роль в теории вероятностей и математической статистике.

При условии, что случайная величина является нормально распределенной, приблизительно 99,73% наблюдений попадут в интервал (3s). На графике плотности вероятности нормального распределения это выглядит следующим образом.

normal  

Рисунок. Кривая нормального распределения. Указаны процентные соотношения значений, попадающих в разные интервалы.

 

Распределение Стьюдента

Распределение Стьюдента возникает при оценке среднего нормально распределенной выборки в случаях когда количество экземпляров выборки мало и стандартное отклонение неизвестно. Впервые было исследовано Вильямом Госсетом в начале XX века, который выпускал свои работы под псевдонимом Стьюдент.

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности распределения Стьюдента имеет вид:
f(t) = \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})} {\sqrt{n\pi}\,\Gamma(\frac{n}{2})} \left(1+\frac{t^2}{n} \right)^{\!-\frac{n+1}{2}},\!
где n — количество степеней свободы и \Gamma - Гамма-функция

Функция распределения

Функция распределения может быть выражена через Гамма функцию и гипергеометрическую функцию следующим образом:
\tfrac{1}{2} + t\frac{\Gamma \left( \tfrac{1}{2}(n+1) \right)} {\sqrt{\pi n}\,\Gamma \left(\tfrac{n}{2}\right)} {}_2F_1 \left ( \tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}(n+1); \tfrac{3}{2}; -\tfrac{t^2}{n} \right)

 

Рассмотрим другие распространенные распределения непрерывных случайных величин.

Равномерное  распределение. Непрерывная случайная величина

Логнормальное распределение

 

В ряде областей науки и техники нашли широкое применение такие одномерные распределения непрерывной случайной величины как экспоненциальное распределение, гамма-распределение, распределение Вейбулла и многие другие.

 

 

Поделиться с друзьями:
Ваша оценка: 
Ваша оценка: Нет
2.8
Средняя: 2.8 (10 проголосовавших)